Kombinatorial

Sebuah sandi-lewat (password) panjangnya 6 sampai 8 karakter. Karakter boleh berupa huruf atau angka. Berapa banyak kemungkinan sandi-leawt yang dapat dibuat?

          abcdef

    aaaade

    a123fr

    …

    erhtgahn

    yutresik

    …

   

????

         

·       Kombinatorial adalah cabang matematika untuk menghitung jumlah penyusunan objek-objek tanpa harus mengenumerasi semua kemungkinan susunannya.

Kaidah Dasar Menghitung

1. Kaidah perkalian (rule of product)

Misalkan,

Percobaan 1: p hasil

Percobaan 2: q hasil

maka,

Percobaan 1 dan percobaan 2: p ´ q hasil

2. Kaidah penjumlahan (rule of sum) 

Misalkan,

Percobaan 1: p hasil

Percobaan 2: q hasil

maka,

Percobaan 1 atau percobaan 2: p + q hasil

Contoh 1. Ketua angkatan IF 2002 hanya 1 orang (pria atau wanita, tidak bias gender). Jumlah pria IF2002 = 65 orang dan jumlah wanita = 15 orang. Berapa banyak cara memilih ketua angkatan?

Penyelesaian:

65 + 15 = 80 cara.                

Contoh 2. Dua orang perwakilan IF2002 mendatangai Pak Rinaldi untuk protes nilai kuis. Wakil yang dipilih 1 orang pria dan 1 orang wanita. Berapa banyak cara memilih 2 orang wakil tesrebut?

Penyelesaian:

           65 ´ 15 =  975 cara.

Perluasan Kaidah Dasar Menghitung

Misalkan ada n percobaan, masing-masing dg p_i hasil

1. Kaidah perkalian (rule of product)

p₁ ´ p₂ ´ … ´ p_n  hasil

2. Kaidah penjumlahan (rule of sum)

p₁ + p₂ + … + p_n  hasil

Contoh 3. Bit biner hanya 0 dan 1. Berapa banyak string biner yang dapat dibentuk jika:

(a)             panjang string 5 bit

(b)            panjang string 8 bit (= 1 byte)

Penyelesaian:

(a)             2 ´ 2 ´ 2 ´ 2 ´ 2 = 2⁵ = 32 buah

(b)            2⁸ = 256 buah

Contoh 4. Berapa banyak bilangan ganjil antara 1000 dan 9999 (termasuk 1000 dan 9999 itu sendiri) yang

(a)             semua angkanya berbeda

(b)            boleh ada angka yang berulang.

Penyelesaian:

(a)

posisi satuan:   5 kemungkinan angka (yaitu 1, 3, 5, 7 dan 9);

posisi ribuan:   8 kemungkinan angka

       posisi ratusan:  8 kemungkinan angka

posisi puluhan: 7 kemungkinan angka

Banyak bilangan ganjil seluruhnya = (5)(8)(8)(7) = 2240 buah.

(b)

posisi satuan:   5 kemungkinan angka (yaitu 1, 3, 5, 7 dan 9);

posisi ribuan:   9 kemungkinan angka (1 sampai 9)

       posisi ratusan:  10 kemungkinan angka (0 sampai 9)

posisi puluhan: 10 kemungkinan angka (0 sampai 9)

Banyak bilangan ganjil seluruhnya = (5)(9)(10)(10) = 4500