Monday, January 23, 2012

Aljabar Boolean


·         Misalkan terdapat
-          Dua operator biner: + dan ×
-          Sebuah operator uner: ’.
-          B : himpunan yang didefinisikan pada operator +, ×, dan ’
-          0 dan 1 adalah dua elemen yang berbeda dari B.

Tupel

                        (B, +, ×, ’)
disebut aljabar Boolean jika untuk setiap a, b, c Î Bberlaku aksioma-aksioma atau postulat Huntington berikut:

1. Closure:                   (i)  a + b Î B   
                                    (ii) a × bÎ B     

2. Identitas:      (i)  a + 0 = a
                                    (ii) a × 1 = a
                                   
3. Komutatif:   (i)  a + b = b + a
                                                (ii)  a × b= b . a

4. Distributif:   (i)   a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
                                                (ii)  a + (b × c) = (a + b) × (a + c)
                                   
5. Komplemen[1]:           (i)  a + a’ = 1
                                                (ii)  a × a’ = 0



  • Untuk mempunyai sebuah aljabar Boolean, harus diperlihatkan:
1.      Elemen-elemen himpunan B,
2.      Kaidah operasi untuk operator biner dan operator uner,
3.      Memenuhi postulat Huntington.

Aljabar Boolean Dua-Nilai

Aljabar Boolean dua-nilai:
-          B = {0, 1}
-          operator biner, + dan ×
-          operator uner, ’

-          Kaidah untuk operator biner dan operator uner: 


a
b
a × b

a
b
a + b

a
a
0
0
0

0
0
0

0
1
0
1
0

0
1
1

1
0
1
0
0

1
0
1



1
1
1

1
1
1





Cek apakah memenuhi postulat Huntington:
1.      Closure :  jelas berlaku
2.      Identitas: jelas berlaku karena dari tabel dapat kita lihat bahwa:
(i)  0 + 1 = 1 + 0 = 1
(ii) 1 × 0  = 0 × 1 = 0
3.      Komutatif:  jelas berlaku dengan melihat simetri tabel operator biner.

4.      Distributif: (i) a × (b + c) = (a × b) + (a × c) dapat ditunjukkan benar dari tabel operator biner di atas  dengan membentuk tabel kebenaran:

a
b
c
b + c
a × (b + c)
a × b
a × c
(a × b) + (a × c)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
 

(ii) Hukum distributif a + (b × c) = (a + b) × (a + c) dapat ditunjukkan benar dengan membuat tabel kebenaran dengan cara yang sama seperti (i).


1.      Komplemen: jelas berlaku karena Tabel 7.3 memperlihatkan bahwa:
    (i)  a + a‘ = 1, karena 0 + 0’= 0 + 1 = 1 dan 1 + 1’= 1 + 0 = 1
    (ii) a × a = 0, karena 0 × 0’= 0 × 1 = 0 dan 1 × 1’ = 1 × 0 = 0 

Karena kelima postulat Huntington dipenuhi, maka terbukti bahwa B = {0, 1} bersama-sama dengan operator biner + dan × operator komplemen ‘ merupakan aljabar Boolean.

Ekspresi Boolean
  • Misalkan (B, +, ×, ’) adalah sebuah aljabar Boolean. Suatu ekspresi Boolean dalam (B, +, ×, ’) adalah:
(i)   setiap elemen di dalam B,
(ii)  setiap peubah,
(iii) jika e1dan e2 adalah ekspresi Boolean, maka e1 + e2, e1 × e2, e1’ adalah ekspresi Boolean
 
Contoh:
                        0
                        1
                        a
                        b
                        c
                        a+ b
                        a× b
                        a× (b + c)
                        a× b’ + a × b × c’ + b’, dan sebagainya

Mengevaluasi Ekspresi Boolean

  • Contoh:  a× (b + c)

 jika a = 0, b = 1, dan c = 0, maka hasil evaluasi ekspresi:

                        0’× (1 + 0) = 1 × 1 = 1

  • Dua ekspresi Boolean dikatakan ekivalen (dilambangkan dengan ‘=’) jika keduanya mempunyai nilai yang sama untuk setiap pemberian nilai-nilai kepada n peubah.
Contoh:
                        a × (b + c) = (a . b) + (a × c)

Contoh. Perlihatkan bahwa a + ab= a + b .
Penyelesaian:
a
b
a
ab
a + ab
a + b
0
0
1
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1



  • Perjanjian: tanda titik (×) dapat dihilangkan dari penulisan ekspresi Boolean, kecuali jika ada penekanan:
(i)              a(b+ c) = ab + ac
(ii)                           a + bc = (a + b) (a + c)
(iii)                         a × 0 , bukan a0


Prinsip Dualitas

  • Misalkan S adalah kesamaan (identity) di dalam aljabar Boolean yang melibatkan operator +,  ×, dan komplemen, maka jika pernyataan S* diperoleh dengan cara mengganti
                        ×   dengan  +
            +  dengan  ×
                        0  dengan  1
            1  dengan  0
dan membiarkan operator komplemen tetap apa adanya, maka kesamaan S* juga benar. S* disebut sebagai dual dari S.

Contoh. 
(i)   (a × 1)(0 + a’) = 0  dualnya (a + 0) + (1 × a’) = 1
(ii)  a(a‘ + b) = ab       dualnya a + ab = a+ b


Hukum-hukum Aljabar Boolean

1.   Hukum identitas:
(i)      a + 0 = a
(ii)  a × 1 = a

2.   Hukum idempoten:
(i)     a + a = a
(ii)  a × a = a

3.   Hukum komplemen:
(i)      a + a’ = 1
(ii)  aa’ = 0

4.   Hukum dominansi:
(i)      a × 0  = 0
(ii)   a + 1 = 1

5.   Hukum involusi:
(i)   (a’)’ = a

6.   Hukum penyerapan:
(i)      a + ab = a
(ii)  a(a + b) = a

7.   Hukum komutatif:
(i)      a + b = b + a
(ii)   ab = ba

8.   Hukum asosiatif:
(i)      a + (b + c) = (a + b) + c
(ii)   a (b c) = (a b) c

9.   Hukum distributif:
(i)   a + (b c) = (a + b) (a + c)
(ii) a (b + c) = a b + a c

10. Hukum De Morgan:
(i)   (a + b)’ = ab
(ii) (ab)’ = a’ + b

11.  Hukum 0/1
  (i)   0’ = 1
       (ii)  1’ = 0






No comments:

Post a Comment